# 【DL笔记2】神经网络编程原则&Logistic Regression的算法解析

本文是【专题“DeepLearning学习笔记”】的第【2】篇

# 一、神经网络中的编程指导原则

就一句话：

只要阔能，就不要使用显示for循环（explicit for-loop），而是尽可能采用矢量化技术（Vectorization）

为啥呢，因为深度学习中的数据量往往巨大，用for循环去跑的话效率会非常低下，相比之下，矩阵运算就会快得多。而python的矩阵“传播机制（broadcasting）”和专门用于矩阵计算的numpy包更是给了我们使用矩阵运算的理由。

因此，我们在面对深度学习问题的时候，首先要想一想，如何把数据进行“矢量化”，就是转化成向量或者矩阵，这样可以大大提高我们的效率。

有关python的传播机制、numpy的典型使用以及for-loop和vectorization运算时间的对比，可以参见我的另一篇文章： Python的矩阵传播机制&矩阵运算 (opens new window)

具体怎么把我们的数据进行Vectorization呢？我们在Logistic regression的python实现里面去看一看：

# 二、Logistic regression算法

在写python代码之前，我们先用伪代码来示意一下Logistic regression的过程。

首先回顾一下上一篇文章 (opens new window)中对Logistic regression模型的学习和预测的步骤：

初始化W和b
指定learning rate和迭代次数
每次迭代，根据当前W和b计算对应的梯度（J对W，b的偏导数），然后更新W和b
迭代结束，学得W和b，带入模型进行预测，分别测试在训练集合测试集上的准确率，从而评价模型

假设我们的样本数为m，每一个样本的特征数为n，我们设置的迭代次数为2000，那么按照上述步骤，如果使用for循环的话，我们需要几个for，总循环多少次呢？

①初始化：
J=0 (这是cost),
$w_{1},...,w_{n}=0$ , $dw_{1},...,dw_{n}=0$
(J对w的偏导，即梯度)，b=0

②一次迭代：
For i = 1 to m:
{
$z^{(i)}=W^{T}x^{(i)}+b$
（行向量乘以列向量，就是个数了）
$a^{(i)}=\sigma(z^{(i)})$
（a就是上一篇文章中的y'，就是经过Activation之后的值）
$J+=-[y^{(i)}loga^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)})]$
(注意这里的+=，说明是个累加，就是要累加每一个样本的loss，最后还要除以 m，就是代价cost)
$dz^{(i)}=a^{(i)}-y^{(i)}$

For j = 1 to n:
{
$dw_{j}+=x_{j}^{(i)}dz^{(i)}$
$db+=dz^{(i)}$
}
(这里一样，都是累加，因为要遍历完m个样本，然后求平均梯度，再更新)
}

③计算平均梯度，并更新：

$J/=m,dw_{j}/=m,db/=m \\ w_j:=w_j-\alpha dw_j \\ b:=b-\alpha db$

更新完之后别忘了，这只是一次迭代，接着把上面过程重复2000次！

简单看一下：

for iteration=1 to 2000:  #梯度下降2000次迭代
  for i=1 to m:  # 遍历m个样本
    for j=1 to n  # 求每一个特征对应的w的梯度

1
2
3

3个for循环啊！共循环2000×m×n次！通常情况下，m至少也有大几千吧，特征n更是成千上万，尤其是对于图片识别类的问题。这样for下去简直阔怕！

事实上，我们可以通过Vectorization来消除第二个和第三个for循环，因为一个样本的n个特征可以组成一个向量，m个样本也可以组成一个大矩阵。于是：

可以设：

$X = [x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]_{m\times n}$

其中 $x^{(i)} $是一个列向量：

$x^{(i)}=[x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},...,x_{n}^{(i)}]^{T}$

包含了n个特征。

对应的，n个权重也可以定义成一个列向量：

$W=[w_{1},...,w_{n}]^{T}$

于是，我们将上面的算法都转换成矩阵或者向量：

$\begin{aligned} Z&=[z^{(1)},...,z^{(m)}]=W^{T}X+[b,...,b]=np.dot(W^{T},X)+b \\ A&=[a^{(1)},...,a^{(m)}]=\sigma(Z), Y=[y^{(1)},...,y^{(m)}] \\ dZ&=[dz^{(1)},...,dz^{(m)}]=A-Y \\ dW&=\frac{1}{m}XdZ^{T}=\frac{1}{m}np.dot(X,dZ.T) \\ db&=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{dz^{(i)}}=\frac{1}{m}np.sum(dZ) \\ W:&=W-\alpha dW \\ b:&=b-\alpha db \end{aligned}$

（上面出现的np.dot()是numpy包的矩阵乘法，就是点乘，np.sum()就是numpy的矩阵求和）

搞定，一次迭代中，一个for也没有用。（当然，这个迭代的for循环我们没法消除，因为迭代次数是我们人为设定的，这里设为2000次，也可以设为1500次、3000次等等）

（写这样的全都是公式的文章真的好累啊！(╬￣皿￣)）

上面就是Logistic regression的算法了， ###我们总结一下：所谓的Vectorization，就是把我们需要用for-loop来对那些只有上标或者下标变化的变量，放进一个向量或者矩阵中，让他们所有变量同时计算！因此，Logistic regression算法向量化的过程，就是：

把m个样本，同时计算，同时算出它们的 $z^{(i)}$ ,也就是直接算Z这个m维行向量
同时把Z的m维都激活，得到m维行向量A
得到A和Z之后，就可以直接计算J对Z的梯度dZ了，得到dZ之后，也就可以直接算出W和b的梯度了
同时更新所有的 $w^{(i)}$ 和b

下一篇会用python详细地实现一下,并记录一些其中编程的要点。有任何疑问，欢迎留言交流！也希望大家监督我写完“DeepLearning学习笔记”这个专题！